Genèse du nombre et didactique des mathématiques, essai (articles de recherche), éditions P.U.F. pour la revue Enfance, octobre-décembre 2025.
Numéro thématique de la revue Enfance, coordonné par Charles Tijus et Henri Lehalle.
Connaissez-vous le test de la Grand-mère ? Si vous dites que les bébés ne connaissent rien au nombre tandis que les enfants des écoles s’y exercent avec bonheur, vous avez échoué au test de la Grand-mère parce que n’importe quelle Grand-mère pourrait en dire autant. Alors, à quoi bon être psychologue ? À l’inverse, si vous annoncez que les bébés sont des experts en calcul alors que les écoliers ne comprennent rien à rien, vous passez le test de la Grand-mère – car une Grand-mère ne dirait jamais une incongruité pareille – et vos travaux seront remarqués et largement cités. Bien des années ont passé depuis les premières recherches sur le nombre chez les bébés, mais le paradoxe subsiste… avec l’affirmation de compétences numériques précoces chez les bébés et le constat des difficultés en calcul manifestées par les enfants plus âgés. La résolution de ce paradoxe ne peut se trouver que dans une approche développementale des concepts numériques et des apprentissages. C’est le but de ce numéro thématique.
EXTRAIT de l’article « Les dyscalculies développementales (DD) sont développementales »
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2.1. Les fondements du nombre chez les bébés
Depuis une cinquantaine d’années, les recherches auprès des bébés ont beaucoup occupé les psychologues du développement (Lécuyer, 2020 ; Durand et Schneider, 2024). C’est le cas en particulier des connaissances protonumériques (Bideaud, ce numéro ; Sann & Molina, ce numéro). En résumé, les bébés manifestent deux types de compétences en rapport avec le nombre. Tout d’abord, ils réagissent à la perception de différences de numérosité. C’est là une compétence primitive, effective également chez certains animaux. Elle est métaphoriquement quantitative car approximative et donc assimilable à ce que l’on observe en psychophysique selon la loi de Weber. L’autre compétence est construite. Elle consiste à repérer et à individualiser les objets en se fondant sur leurs caractéristiques perçues et aussi sur leur localisation. On observe alors une pseudo-quantification, comme dans les expériences princeps de Wynn (1992) où le bébé s’attendait probablement à percevoir 1 et 1 objets (pas « deux ») dans le fameux paradigme où deux objets sont cachés derrière un écran et que l’un des deux est subrepticement enlevé avant que l’on relève l’écran.
La quantification approximative peut difficilement être considérée comme le fondement du nombre en tant que système exact de quantification. En examinant diverses recherches, Noël, Rousselle et De Visscher (2014) sont catégoriques : « l’hypothèse d’un déficit de la représentation approximative du nombre comme base de la DD ne tient pas la route » (p. 26). La critique de J-P Fischer (2009) est également sans appel quand il écrit : « (…) pour des enseignants de mathématiques, cela doit paraître curieux : imaginez en effet un élève qui, confondant les résultats de 7×7 et 6×8, aurait écrit 7×7 = 48 et soutiendrait, a posteriori, que c’est juste (approximativement, à 1 près) ; ou encore qui énoncerait le théorème d’arithmétique approximative selon lequel « tout nombre entier est pair » (approximativement, à 1 près) ! » (p. 6). Une habileté (la quantification approximative) qui se trouve en contradiction avec une compétence acquise (la quantification exacte) ne peut en constituer l’origine.
En revanche, la notion d’objet apparaît comme un prérequis nécessaire pour la construction du nombre. Repérer des entités une à une, les identifier et les différencier, cela constitue bien une compétence préalable qui rendra possible, par la suite, toute activité de comptage et de dénombrement exact.
2.2. La représentation sémiotique des quantités discrètes
La fonction sémiotique comporte deux aspects (Lehalle & Mellier, 2021, chapitre 4) : un aspect de référence (désigner par un signe) et un aspect d’inférence (lorsqu’un signe en évoque un autre). On sait que la fonction sémiotique s’exprime de façon claire à partir de deux ans, tout en étant préparée par une succession de comportements et d’acquisitions antérieurs. Elle se manifeste dans de nombreux domaines d’activités, comme le langage, le dessin, les jeux.
Qu’en est-il pour le nombre ?
Les données expérimentales soulignent l’importance du subitizing pour l’acquisition et la compréhension des premiers mots-nombre vers 3-4 ans (Benoit, Lehalle & Jouen, 2004). Le terme anglais de subitizing désigne la possibilité de considérer une collection d’objets dans son ensemble tout en individualisant un à un ses éléments. Cette possibilité ne peut donc être effective que pour des collections de faible numérosité (jusqu’à 4 en général). Le subitizing peut être simplement perceptif. Il peut aussi être verbal lorsqu’un mot-nombre est associé sans erreur à la collection perçue, signalant ainsi les premières représentations sémiotiques de la numérosité. Dans ce cas, la représentation est catégorielle (car indépendante de la disposition spatiale des éléments et de leur nature).
L’importance développementale du subitizing verbal est facile à comprendre. Il présuppose la représentation des objets un à un (représentation déjà effective chez les bébés, comme on l’a vu). Mais il constitue aussi des connaissances sur le nombre qui permettront, ensuite, de comprendre la signification des mots-nombre pour des numérosités plus importantes (5, 6, 7, etc.) lorsque les éléments de ces collections ne peuvent plus être considérés individuellement et simultanément (on sera alors obligé de compter !). Le subitizing verbal est donc un moment clé, un moment charnière dans la construction des représentations du nombre. Dans ces conditions, il n’est pas étonnant que des recherches citées par Noël et Karagiannakis (2020) montrent que les enfants avec DD manifestent des difficultés dans l’utilisation du subitizing, comme si ce procédé d’évaluation n’avait pas été entraîné au moment du développement où il aurait dû l’être.
La représentation sémiotique de la numérosité n’est pas seulement verbale. D’autres représentations peuvent être analogiques (par exemple par les doigts) ou symboliques (les nombres écrits indo-arabes). Cela permet aux jeunes enfants de s’exercer sans trop s’en rendre compte à des transcodages et à des correspondances entre formats de représentation (Benoit & al., 2013 ; Fayol, Claracq & Darnon, ce numéro). C’est ce côté « inférence » de la fonction sémiotique qui induit des processus d’abstraction (la cardinalité sous toutes ses formes), de généralisation (ce qui est valide pour les petits nombres va le devenir pour les plus grands), d’extension (acquisition de la suite des premiers mots-nombres et constitution progressive de la ligne numérique).
Mais un fonctionnement sémiotique, tel qu’il apparaît dans la récitation de la suite des nombres (un terme en entraîne un autre, et pour ne pas se tromper il vaut mieux commencer au début !) et même dans les premiers dénombrements ritualisés, ne garantit pas à lui seul la structuration logique de ces représentations pourtant effectives.
2.3. Compter des regroupements en catégories
La recherche de Sophian et Kailihiwa (1998) signale un changement développemental essentiel pour l’acquisition du nombre et pour l’apprentissage des systèmes de numération. Dans l’une des expériences décrites par les autrices, la procédure se déroule en entretiens individuels et utilise un matériel constitué de petits jouets représentant des « familles » d’animaux : des oiseaux, des lapins, des ours, etc. Une mise en route est effectuée pour que les enfants (4 ans et 5 ans) soient familiarisés avec les matériels et qu’ils aient bien repéré le vocabulaire : le nom des animaux, le terme de « famille » (les individus dans une famille n’ont pas la même taille). Ensuite, il y a deux séries d’items : 1) l’enfant est invité, selon plusieurs formulations, à dénombrer les individus dans une famille (par exemple : « Combien d’ours il y a là ? » ; 2) l’enfant est invité à dénombrer les familles (« Combien de familles il y a là ? »), sachant que la procédure prévoit de bien isoler spatialement les familles afin de les différencier perceptivement.
Or, la plupart des enfants de 4 ans réussissent à compter les individus dans une famille. Mais, ils échouent majoritairement à compter les familles car ils restent focalisés sur les individus : ils persistent à compter les individus dans une famille, ou bien ils comptent les individus dans plusieurs familles, ou encore ils redémarrent à « un » en passant d’une famille à une autre. En revanche, la quasi-totalité des enfants de 5 ans réussit à compter les familles.
Ainsi, la quantification numérique exacte est d’abord associée à des éléments physiquement distincts. Cela n’est pas étonnant si le processus développemental débute avec la notion d’objet et se poursuit avec le subitizing verbal. Mais vers 5 ans les enfants ont compris que l’on peut aussi compter des regroupements d’objets en constituant par conséquent des unités relativement plus abstraites. Cette étape paraît nécessaire pour l’apprentissage ultérieur de tout système de numération où le comptage de regroupements d’unités est la règle : dix dizaines pour une centaine, etc. (…)